（知识点）数量积引例延直线做功

沿直线恒力所做的功示例

有一个物体A，在力F的作用下，发生位移x。 x 和 F 之间的角度为 θ。 那么如何表达这个过程呢？ 我们知道，在这个过程中，力所做的功为W = F·cosθ·x，F和x都是向量，即向量。 那么我们可以认为公式W是两个向量进行某种运算。 最终结果。 在先贤们的努力下，这个过程被定义为量产。 也就是说，功W是向量F与向量x进行量积运算得到的。

定义

假设两个向量a、b，向量之间的角度为θ

有一个定量乘积定义 a·b = |a||b|cosθ

定义记为

投影的数量乘积表示

我们知道b在a上的投影为|b|·cosθ，

换句话说，a和b的定量乘积是|a|的投影 a 上乘以 b，

同理，也可以表示为|b| 乘以 a 在 b 上的投影

投影表示法

b 在 a 上的投影 = a·b/|a|

两个重要结论

相同向量的数量的乘积

设向量a

a·a = |a|·|a|·cos 0° = |a|·|a| = |a|²

记作：a²

矢量垂直度的充要条件

设向量 a 和向量 b

如果a⊥b，

则 ∠θ = 90°，

余弦θ = 0

然后a·b

= |a|·|b|·cos 90°

= 0

相反，如果 a·b = 0

那么有两种可能，一种是θ=90°，另一种是a和b中至少有一个零向量。

第一种可能，a⊥b不需要解释

第二种可能是因为零向量有任意方向，那么任意向量（包括零向量）都垂直于零向量。

零向量与其他向量的位置关系

零向量可以被认为是一个特殊的向量，它垂直于任何其他向量并且平行于任何其他向量。

数量产品操作规则

交换律

a·b = b·a

分配法

a·(b + c) = a·b + a·c

结合律

λ(a·b) = (λa)·b = a·(λb)

余弦定理

(a + b)²

= a² + 2(a·b) + b²

= a² + 2({a||b|cosθ)+ b²

数量产品的坐标表示

令 a = (m, n, p), b = (x, y, z)

我们知道，这个表示等价于a=mi+nj+pk向量的数量积，b=xi+yj+zk；

那么 a·b = (mi + nj + pk)·(xi + yj + zk)

= (mx)i² + (ny)j² + (pz)k² = mx + ny = pz

注：i² = |i|² = 1，同理，j² = k² = 1

表达公式

如果 a = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2)

那么 a·b = x1x2 + y1y2 + z1z2

角度公式

如何求坐标表示的向量的模

令 p = (x, y, z)

然后||p| = ✓x²+y²+z²

公式

矢量积

与量积不同，我们在我们的层面上无法找出它是从什么抽象出来的，所以我们不妨根据向量积的结果的特点来定义向量积

定义

向量积的结果p具有以下特点：

尺寸

|p|= |a|·|b|sinθ

方向

p⊥a∩p⊥b 且符合右手定则

表达

p = a×b

重要结论

self 和 self 的向量积

尺寸：

a×a = |a|·|a|·sin 0°= 0;

方向：

任何方向

两个非零向量平行的充要条件

a∥b⇔a×b = 0;

若a∥b，则sinθ=0； 那么a×b = 0；

如果a×b = 0，则sinθ = 0或者a和b中至少一个是零向量。 由于零向量的方向是任意的，所以仍然有a∥b

向量积模的几何意义

介绍：

可见|a|·|b|·sinθ就是图中平行四边形的面积。

内容：

|a×b|的几何意义是以a和b为邻边的平行四边形的面积。

操作规则

逆交换律

a×b = -b×a

分配法

a×(b + c) = a×b + a×c

结合律

λa×b = (λa)×b = a×(λb)