（期中复习）平面直角坐标系中的图像与定义

一般来说，自变量x与因变量y之间存在以下关系：y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）

我们称 ya 为 x 的二次函数。

而a决定了函数的开方向，

当a>0时，开口方向向上，

|a|您还可以决定开口的大小，

|a|越大，开口越小。

|a|开口越小，它就会越大。

二次函数表达式的右侧通常是二次三项式。

2.二次函数的三种表达式

通式：y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）

顶点公式：y=a(xh)²+k[抛物线的顶点P(h,k)]

交集公式：y=a(x-x₁)(x-x2)

[仅限于与 x 轴有交点 A(x₁,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]

注：三种形式的相互转换中，存在如下关系：

h=-b/2a

k=(4ac-b²)/4a

x₁,x2=(-b±√b²-4ac)/2a

3.二次函数的图像

在平面直角坐标系中绘制二次函数y=x2的图像，可以看出二次函数的图像是抛物线。

4. 抛物线的性质

抛物线是轴对称图形。 对称轴是直线x=-b/2a。

对称轴和抛物线之间的唯一交点是抛物线的顶点 P。

尤其，

当b=0时，抛物线的对称轴为y轴（即直线x=0）。

抛物线有一个顶点 P，

坐标为：P(-b/2a, (4ac-b²)/4a)。

当-b/2a=0时，P在y轴上；

当Δ=b²-4ac=0时，P在x轴上。

二次项系数a决定了抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，抛物线开口向上；

当a<0时，抛物线开口向下。

较大的|a| 即，抛物线的开口越小。

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a和b符号相同时（即ab>0），对称轴在y轴左侧；

当a和b符号不同时（即ab<0），对称轴位于y轴的右侧。

常数项 c 确定抛物线与 y 轴的交点。

抛物线与 y 轴相交于 (0, c)。

抛物线与x轴的交点数量：

当Δ=b²-4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点。

当Δ=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

当Δ=b²-4ac<0时，抛物线与x轴无交点。

的价值

5.一元二次函数和二次方程

特别地，二次函数(以下称为函数)y＝ax 2 +bx+c。

当y=0时，二次函数是关于x的一个变量的二次方程（以下简称方程），即ax2+bx+c=0。

此时函数图是否与x轴相交，即方程是否有实根。 函数与x轴交点的横坐标是方程的根。

01

二次函数

y=ax²，

y=a(xh)²，

y=a(xh)²+k,

y=ax²+bx+c（各式中，a≠0）

这些图像具有相同的形状但不同的位置。

它们的顶点坐标和对称轴如下：

分析型

顶点坐标

对称轴

y=ax²

(0,0)

x=0

y=a(xh)²

(h,0)

x=h

y=a(xh)²+k

(h,k)

x=h

y=ax²+bx+c

-b/2a,

(4ac-b²)/4a

x=-b/2a

当h>0时，

将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，即可得到y=a(xh)²的图像。

当h

然后移动|h| 与左侧平行的单位。

当h>0，k>0时，

将抛物线y=ax²平行向右移动h个单位，然后向上移动k个单位，即可得到y=a(xh)²+k的图像。

当h>0时，k

将抛物线 y=ax² 平行于右侧 h 单位移动，然后向下移动 |k| 单位以获得 y=a(xh)²+k 的图像。

当 h0 时，

将抛物线平行向左移动 |h| 个单位，然后向上移动 k 个单位，得到 y=a(xh)²+k 的图像。

当h

将抛物线平行向左移动 |h| 个单位，然后向下移动|k| 单位以获得 y=a(xh)²+k 的图像。

因此，研究抛物线的图像 y=ax²+bx+c(a≠0)，

通过公式，可将通式转化为y=a(xh)²+k的形式，并可确定其顶点坐标和对称轴，抛物线的大致位置也一目了然。 这为绘制图像提供了便利。

只/有/时间/和/预订/不能/辜负/失望

02

抛物线的图像 y=ax²+bx+c(a≠0)：

当a>0时二次函数顶点，开口向上，

当一个

对称轴是直线 x=-b/2a，

顶点坐标为 (-b/2a, [4ac-b²]/4a)

03

抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的增减性质：

如果a>0，

当x≤-b/2a时，y随着x的增大而减小；

当x≥-b/2a时，y随着x的增加而增加。

如果一个

当x≤-b/2a时，y随着x的增大而增大；

当x≥-b/2a时，y随着x的增加而减少。

04

抛物线y=ax²+bx+c的图形与坐标轴的交点：

(1)图像必须与y轴相交，交点坐标为(0,c)；

(2) 当△=b2-4ac>0时，

图像与 x 轴相交于两点 A(x₁,0) 和 B(x2,0)，

其中，x1和x2是二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个根。 这两点之间的距离AB=|x2-x1|。

当△=0． 图像与x轴只有一个交点；

当△

当a>0时，图像落在x轴上方，当x为任意实数时，

全部 y>0；

当一个

都有y

05

抛物线最大值y=ax²+bx+c：

如果a>0(a

那么当x=-b/2a时，y的最小（最大）值=(4ac-b²)/4a

顶点的横坐标是自变量取最大值时的值，顶点的纵坐标是最大值时的值。

06

利用待定系数法求二次函数的解析公式：

（1）当题中给出的条件是已知图像经过三个已知点或者已知三对x和y的对应值时，

解析表达式可以设置为一般形式：y=ax²+bx+c(a≠0)。

(2)当题中给出的条件为已知图像的顶点坐标或对称轴时，

解析表达式可以设置为顶点表达式：y=a(xh)²+k(a≠0)

(3)当题中给出的条件是已知图像与x轴的两个交点的坐标时，

解析公式可设为两个根式： y=a(x-x₁)(x-x2)(a≠0)

07

7、二次函数知识可以很容易地与其他知识结合，形成更为复杂的综合题。因此，以二次函数知识为主的综合题是中考的热点话题，常常以大题的形式出现。

抛物线与 x 轴的交点之间

距离公式及其应用

1. 公式推导

假设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于点A(x1,0)和B(x2,0)，则x1和x2是当函数y=0时，方程 ax2+bx +c=0 的两个根。

2、公式的应用

已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(-1, 4)，x轴弦长为4。求该抛物线的解析式。

解：∵抛物线的顶点坐标为(-1, 4)

∴抛物线可设为 y=a(x+1)2+4

即：y=ax2+2ax+a+4

∵与x轴相切的抛物线弦长为4

解：a=-1

∴所需抛物线为 y=-x2-2x+3